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5 Ramas de estudio de las matemáticas

Artículo principal: Áreas de las matemáticas.

Véase también: Categoría:Áreas de las matemáticas.

La Sociedad Americana de Matemáticas distingue unas 5.000 ramas distintas de matemáticas.²⁶ Dichas ramas están muy interrelacionadas. En una subdivisión amplia de las matemáticas se distinguen cuatro objetos de estudio básicos: la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio^{[cita requerida]} que se corresponden a la aritmética, álgebra, geometría y cálculo. Ademas, hay ramas de las matemáticas conectadas a otros campos como la lógica y teoría de conjuntos, y las matemáticas aplicadas.

• Los diferentes tipos de cantidades (números) han jugado un papel obvio e importante en todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura, la ciencia y la tecnología.
• El estudio de la estructura comienza al considerar las diferentes propiedades de los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. Después, la organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g. estructuras categóricas). La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.
• El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría. En su faceta avanzada el surgimiento de la topología da la necesaria y correcta manera de pensar acerca de las nociones de cercanía y continuidad de nuestras concepciones espaciales.
• La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y del cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, se estudian las ecuaciones diferenciales y de sus soluciones. Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, y son objetos del Cálculo diferencial e integral y, en cuanto al rigor, se ocupa el Análisis matemático. Es conveniente para muchos fines introducir función, derivación, integración en el conjunto C de los números complejos, así surgen el cálculo de variable compleja y el análisis complejo. El análisis funcional consiste en estudiar los espacios vectoriales de dimensión infinita, problemas cuya incógnita es una función.

5.1 Matemáticas puras

5.1.1 Cantidad

El estudio de la cantidad comienza con los números, primero con los más familiares: números naturales y enteros, y las operaciones aritméticas entre ellos, que caracteriza la aritmética. Las propiedades más profundas acerca de los números se estudian en la teoría de números, campo matematico que nos ha dado resultados populares como el último teorema de Fermat. La conjetura de los primos gemelos y la conjetura de Goldbach son algunos problemas sin solución de la teoría de números.

Como el sistema de números se desarrolla, los enteros son reconocidos como un subconjunto de los números racionales (fracciones). Estos, a su vez están contenidos en los números reales, que son usados para representar cantidades continuas. Los números reales son generalizables a los números complejos. Estos son los primeros hacia una jerarquía de números que va a incluir a los cuaterniones y octoniones.Tambien destacamos los números transfinitos, que formalizan en concepto de infinito. Otra área de estudio es el tamaño, lo que conduce a los números cardinales y a otra concepción del infinito: los números alef, que permiten comparar el tamaño de conjuntos infinitamente grandes.

Números naturales	Enteros	Números racionales	Números reales	Números complejos

5.1.2 Estructura

Combinatoría	Teoría de números	Teoría de grupos	Teoría de grafos	Teoría del orden	Álgebra

5.1.3 Espacio

Geometría	Trigonometría	Geometría diferencial	Topología	Geometría fractal	Teoría de la medida

5.1.4 Cambio

Cálculo	Cálculo vectorial	Ecuaciones diferenciales	Sistemas dinámicos	Teoría del caos	Análisis complejo

5.2 Matemáticas aplicadas

5.2.1 Estadística y ciencias de la desición

5.2.2 Matemática computacional

Física matemática	Dinámica de fluidos	Análisis numérico	Optimización	Teoría de la probabilidad	Estadística	Criptografía
Matemáticas financieras	Teoría de juegos	Biología matemática	Química matemática	Economía matemática	Teoría de control

6 Campos de estudio de la matemática

Artículo principal: Áreas de las matemáticas.

• Aritmética. Estudio de los números, sus propiedades y las operaciones que pueden hacerse con ellos.
• Álgebra. Estudio de las estructuras, las relaciones y las cantidades.
• Conjuntos. Es uno de los actuales fundamentos de la matemática, junto con la teoría de categorías.
• Geometría. Estudio de los segmentos, las medidas y las relaciones entre estas. Aquí se encuentra latrigonometría, que estudia las medidas, raciones y relaciones de los triángulos.
• Cálculo infinitesimal. Estudia la variación de infinitésimos mediante derivadas e integrales.
• Estadística. Analiza e interpreta datos recolectados mediante entrevistas o experimentos de laboratorio.

En la matemática superior:

• Topología. Estudia las propiedades de cuerpos geométricos que permanecen inalteradas mediante transformaciones continuas.
• Análisis matemático. Estudia los conceptos del cálculo infinitesimal en espacios más generales, como los de Hilbert o Banach.
• Geometría diferencial. Aplicaciones del cálculo infinitesimal a la geometría.
• Geometrías no euclidianas. Geometrías donde el axioma de las paralelas²⁷ de Euclides no es válido.

7 Conceptos erróneos

Lo que cuenta como conocimiento en matemática no se determina mediante experimentación, sino mediantedemostraciones. No es la matemática, por lo tanto, una rama de la física (la ciencia con la que históricamente se encuentra más emparentada), puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentación desempeña un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas.

La matemática no es un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución, así como una infinidad esperando su formulación.

Matemática no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes para los contables, los avances en matemática abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.

Matemática no significa numerología. La numerología es una pseudociencia que utiliza la aritmética modularpara pasar de nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intuición.

El lenguaje formal no es una simple extensión de los lenguajes naturales humanos que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español o el francés, por ejemplo) y los lenguajes formales (como el matemático o los lenguajes de programación) son estructuras de naturaleza básicamente diferente.