PARADOJAS LOGICAS- APROBARÁS EL EXAMEN?

Paradojas lógicas          

SIGNIFICADO DEL TÉRMINO "PARADOJAS "

El término paradoja viene del griego (para y doxos) y significa "más allá de lo creíble". En la actualidad la palabra "paradoja" tiene numerosos significados:

1) Afirmación que parece falsa, aunque en realidad es verdadera.
2) Afirmación que parece verdadera, pero en realidad es falsa.
3) Cadena de razonamientos aparentemente impecables, que conducen sin embargo a contradicciones lógicas. (Las paradojas de esta clase suelen llamarse falacias.)
4) Declaración cuya veracidad o falsedad es indecible.
5) Verdad que se vuelve patas arriba para llamar la atención.

Las paradojas matemáticas, como las científicas, pueden ser mucho más que amenidades, y llevarnos hasta nociones muy profundas. A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradógico como insoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad no pudiera ser medida exactamente por finas que se hicieran las graduaciones de la regla. Este hecho perturbador sirvió para abrir el vasto dominio de los números irracionales. Los matemáticos del siglo pasado encontraban enormemente paradógico que todos los miembros de un conjunto infinito puedan ponerse en correspondencia biunívoca con los miembros de algún subconjunto del dado, mientras por otra parte podían existir conjuntos infinitos entre los cuales es imposible establecer una correspondencia biunívoca. Tales paradojas condujeron a desarrollar la moderna teoría de conjuntos, que a su vez ha ejercido profunda influencia sobre la filosofía de la ciencia. Mucho podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos de ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber como se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás como hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.

1) UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO.

"Esta frase consta de siete palabras." Está claro que su enunciado es falso, ya que consta de seis. Por tanto, su contrario debería ser verdadero. ¿Es esto correcto?

2) LA PARADOJA DEL MENTIROSO

Se atribuye a Epiménides haber afirmado: "Todos los cretenses son mentirosos". Sabiendo que él mismo era cretense, ¿decía Epiménides la verdad?

3) LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS

Tenemos aquí tres enunciados falsos. ¿Será capaz Ud. de descubrir cuáles?
        1) 2+2=4
        2) 3x6=17
        3) 8/4=2
        4) 13-6=5
        5) 5+4=9

4) ¿APROBARÁ EL EXAMEN?

El siguiente relato ocurrió en un examen oral.

PROFESOR: De las siete preguntas de que consta el examen, ya te has equivocado en tres preguntas, y sólo nos queda una. Tu aprobado o desaprobado (suspenso) depende completamente de si aciertas o no la próxima pregunta. ¿Te das cuenta?
ALUMNO: Sí. Me doy cuenta.
PROFESOR: El estar nervioso no te ayudará.
ALUMNO: Ya lo sé. Trataré de tranquilizarme.
PROFESOR: Y esta es la pregunta. Recuerda: todo depende de si contestas esto bien o mal.
ALUMNO: Sí, sí, ¡ya lo sé!
PROFESOR: La pregunta es ésta: ¿Aprobarás este examen?
ALUMNO: ¿Cómo voy a saberlo?
PROFESOR: Eso no es una respuesta. Debes darme una respuesta clara, sí o no. Si contestas bien, aprobarás; si no, desaprobarás. ¡Así de simple!

 La cuestión no le parecía nada simple al alumno. La verdad es que cuanto más pensaba en ello más confuso se sentía. Y de repente cayó en la cuenta de algo muy interesante. Si contestaba una cosa, el profesor tendría la posibilidad de aprobarle o desaprobarle, como más le complaciera. Si contestaba lo otro, sería imposible que el profesor le aprobara o le desaprobara sin contradecir sus propias reglas. Como el alumno tenía más interés en no desaprobado que en aprobar, eligió la segunda alternativa, y contestó de una manera que confundió por completo al profesor. ¿Qué respuesta dio?

5) UNA DE LAS DOS

He aquí dos afirmaciones. Una de ellas es falsa. ¿Cuál?

6) ERRORES

En este párrafo se cometen tres errores.
        París es la capital de Francia.
        Dos más dos es igual a cinco.
        América fue descubierta en 1.492.
        ¿Cuáles son los errores?

 7)  HORRORES

 En este párrafo se cometen dos errores.
       Roma es la capital de Italia.
       Dos por dos es igual a cinco.
       Hillary escalé el Everest.
       ¿Cuáles son los errores?

 8)  PARADOJA TEMPORAL

Un español en 1.987 llamó por teléfono a otro que se encontraba en 1.986, y le dijo:
         - Mañana te telefonearé de nuevo.
         - De acuerdo. ¡Hasta mañana!
         ¿Podría darse esta situación un tanto paradójica en la vida real?.

9) REGLAS Y LEYES

"Todas las reglas tienen una excepción" . ¿ Será cierto?

10) PARADOJA DE LA TARJETA

El matemático P.E.B. Jourdain, en 1913, propuso la siguiente paradoja: en uno de los lados de una tarjeta se podía leer:

"La oración del otro lado de esta tarjeta es VERDADERA."

En la otra cara estaba escrito:

"La oración del otro lado de esta tarjeta es FALSA."

11) EL PLEITO SOBRE LOS HONORARIOS

La siguiente paradoja lógica se le planteó al filósofo griego Protágoras hace unos 2.400 años aproximadamente. Protágoras fue uno de los precursores del movimiento sofista. Según algunos de sus contemporáneos fue el primero que sostuvo que sobre una misma cuestión existen dos discursos mutuamente opuestos.

Durante años enseñó sus conocimientos a los hijos de las familias pudientes griegas, por los que cobró grandes sumas de dinero. Los cursos eran rápidos y eficaces, y entre las enseñanzas transmitidas gran parte la ocupaban tanto la retórica como la argumentación. Para que tengan una idea, las escuelas sofistas eran, en aquél entonces, lo que hoy pueden ser las universidades privadas. Las enseñanzas de los sofistas eran muy valiosas para aquellos que quisieran hacer carrera política o judicial.

El "pleito de los honorarios" se plantea entre el maestro Protágoras y su discípulo Evalto al que acoge en su academia con la condición de que le pagara los honorarios del curso cuando ganase su primer pleito. Terminado el curso Evalto no tuvo ningún cliente y Protágoras, que era sofista pero no estoico, demandó a su discípulo.

Los argumentos expuestos fueron los siguientes:

Evalto: Tanto si gano como si pierdo, en ningún caso tendré obligación de pagar a Protágoras. Si yo gano el pleito, no tendré que pagar ya que el Juez habrá desestimado la demanda y dirá que no pague. Si lo pierdo, entonces, no habré ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habrá cumplido la condición que hacía exigible la obligación de pago de los honorarios.

Protágoras: Tanto si gano como si pierdo este pleito, Evalto siempre tendrá obligación de pagarme. Si yo gano la demanda, por definición tendrá que pagarme pues esta es la cuestión que se ventila en este pleito y el Juez dirá que Evalto me pague. Y si la pierdo, también tendrá que pagarme porque significará que ha ganado su primer pleito; es decir se habrá cumplido la condición de nuestro acuerdo.

¿Quién crees que tenía razón?

SOLUCIONES

1) UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO. ¡Es falso! La oración contraria: "Esta frase no consta de siete palabras." está formada exactamente por siete palabras. ¿Cómo resolver estos raros dilemas?

2) LA PARADOJA DEL MENTIROSO: Es para razonar y discutir...

3) LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS. Únicamente son falsos los enunciados 2 y 4. Por tanto, la afirmación de hay tres enunciados falsos es falsa. Tenemos así el tercero de los enunciados falsos. ¿No es verdad?

4) APROBARÁ EL EXAMEN. Supongamos que contestara que sí. En este caso el profesor podría desaprobarle o aprobarle, como prefiriese. Si le desaprobaba y el alumno preguntaba por qué, el profesor podría decir "Contestaste mal la última pregunta, después de todo dijiste que ibas a aprobar y no fue así, y como la última pregunta estaba mal, tienes que desaprobar". Pero el profesor podría igualmente aprobarle y decir "Dijiste que aprobarías, y como ha sido así, tenías razón, así que contestaste bien la última pregunta, y por eso apruebas". Desde luego los dos razonamientos son circulares, pero ninguno de los dos es peor que el otro.
        En cambio, si el alumno contestara que no, el profesor no podría ni desaprobarle ni aprobarle. Si le aprobaba, el alumno habría contestado mal y habría desaprobado. Si le desaprobaba, el alumno habría contestado bien y habría aprobado. Así que el profesor no podía ni aprobarle ni desaprobarle.
        Como el alumno tenía más interés en no desaprobar que en aprobar, contestó "No" y fastidió al profesor por completo.

5) UNA DE LAS DOS. La primera es cierta: hay dos afirmaciones, ella misma y la segunda. ¿Y la otra? Si fuese falsa, ella misma habría de decir que no hay ninguna falsa (al ser falsa) y si fuese verdadera, ¿dónde está la falsa? Por lo que nos introducimos en una clara contradicción.

 6)  ERRORES. Hay dos errores; uno es la frase que dice «Dos más dos es igual a cinco». El otro es: «En este acertijo se cometen tres errores».

 7) HORRORES. Se trata de una paradoja. Si suponemos que el único error es «Dos por dos es igual a cinco», entonces la primera frase debe ser correcta; pero no puede serlo, porque afirma que los errores son dos. Y si suponemos que los errores son, efectivamente, dos, la primera frase debe estar equivocada; pero no puede estarlo, porque afirma precisamente que los errores son tantos como supusimos. Luego este acertijo no tiene solución lógica.

8) PARADOJA TEMPORAL. Por paradójica que parezca es posible con la condición de que el primer español se encuentre en la Península y el otro en las Islas Canarias y que la llamada se realice en la Península después de las 12 de la noche del 31 de diciembre y antes de la una de la madrugada del día 1 de enero.

9) REGLAS Y LEYES: No hay manera de decidirlo, porque si esa afirmación es verdadera, la regla "Todas las reglas tienen una excepción" tendría una excepción. ¿Cuál sería esa excepción?: una regla que no tuviera excepción... pero dijimos que TODAS las reglas tienen una excepción. Mejor sería cambiar el enunciado y decir: " CASI TODAS las reglas tienen una excepción"

11) EL PLEITO SOBRE LOS HONORARIOS El origen de la paradoja reside en el hecho de que tanto Protágoras como su alumno primero aceptan la autoridad del tribunal pero después, si el veredicto no les favorece, deciden no someterse. Dicho de otra manera: más que una paradoja este es un caso de mala fe por parte de maestro y alumno. La finalidad del pleito es resolver el conflicto entre las partes. Pero deja de tener sentido si dichas partes condicionan su acatamiento al resultado.

Conclusión: Si no van a juicio, pues no hay paradoja. Si van a juicio, tendrán que acatar lo que decida el tribunal y listo.

La mayoría fueron tomadas de: epsilones (Agregar www. al principio y .com al final).

Autor Alberto Rodríguez Santos