5 Ramas de estudio de las matemáticas
- Los diferentes tipos de cantidades (números) han jugado un papel obvio e importante en todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura, la ciencia y la tecnología.
- El estudio de la estructura comienza al considerar las diferentes propiedades de los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. Después, la organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g. estructuras categóricas). La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.
- El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría. En su faceta avanzada el surgimiento de la topología da la necesaria y correcta manera de pensar acerca de las nociones de cercanía y continuidad de nuestras concepciones espaciales.
- La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y del cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, se estudian las ecuaciones diferenciales y de sus soluciones. Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, y son objetos del Cálculo diferencial e integral y, en cuanto al rigor, se ocupa el Análisis matemático. Es conveniente para muchos fines introducir función, derivación, integración en el conjunto C de los números complejos, así surgen el cálculo de variable compleja y el análisis complejo. El análisis funcional consiste en estudiar los espacios vectoriales de dimensión infinita, problemas cuya incógnita es una función.
5.1 Matemáticas puras
5.1.1 Cantidad
Como el sistema de números se desarrolla, los enteros son reconocidos como un subconjunto de los números racionales (fracciones). Estos, a su vez están contenidos en los números reales, que son usados para representar cantidades continuas. Los números reales son generalizables a los números complejos. Estos son los primeros hacia una jerarquía de números que va a incluir a los cuaterniones y octoniones.Tambien destacamos los números transfinitos, que formalizan en concepto de infinito. Otra área de estudio es el tamaño, lo que conduce a los números cardinales y a otra concepción del infinito: los números alef, que permiten comparar el tamaño de conjuntos infinitamente grandes.
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5.1.2 Estructura
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5.1.3 Espacio
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5.1.4 Cambio
5.2 Matemáticas aplicadas
5.2.1 Estadística y ciencias de la desición
5.2.2 Matemática computacional
6 Campos de estudio de la matemática
En la matemática superior:
7 Conceptos erróneos
Lo que cuenta como
conocimiento en matemática no se determina mediante experimentación, sino mediante
demostraciones. No es la matemática, por lo tanto, una rama de la
física (la ciencia con la que históricamente se encuentra más emparentada), puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentación desempeña un papel importante en la formulación de
conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas.
La matemática no es un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución, así como una infinidad esperando su formulación.
Matemática no significa
contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes para los contables, los avances en matemática abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.
Matemática no significa
numerología. La numerología es una
pseudociencia que utiliza la
aritmética modularpara pasar de nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intuición.
El
lenguaje formal no es una simple extensión de los lenguajes naturales humanos que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, los avances en el estudio del
lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el
español o el
francés, por ejemplo) y los lenguajes formales (como el matemático o los
lenguajes de programación) son estructuras de naturaleza básicamente diferente.
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